与えられた３つの式の値をそれぞれ計算します。 (1) $10^{\log_{10}2}$ (2) $3^{2\log_3 4}$ (3) $5^{-3\log_5 2}$

1. 問題の内容

与えられた３つの式の値をそれぞれ計算します。

(1) $10^{\log_{10}2}$

(2) $3^{2\log_3 4}$

(3) $5^{-3\log_5 2}$

2. 解き方の手順

(1)

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。

$10^{\log_{10}2} = 2$

(2)

まず、対数の性質 $c \log_a b = \log_a b^c$ を用いて、$2\log_3 4$ を $\log_3 4^2$ と変形します。

$2\log_3 4 = \log_3 4^2 = \log_3 16$

次に、対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。

$3^{2\log_3 4} = 3^{\log_3 16} = 16$

(3)

まず、対数の性質 $c \log_a b = \log_a b^c$ を用いて、$-3\log_5 2$ を $\log_5 2^{-3}$ と変形します。

$-3\log_5 2 = \log_5 2^{-3} = \log_5 \frac{1}{2^3} = \log_5 \frac{1}{8}$

次に、対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。

$5^{-3\log_5 2} = 5^{\log_5 \frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 16

(3) $\frac{1}{8}$