次の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$ (2) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x$ (4) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ (5) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x)$

1. 問題の内容

次の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$

(2) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x$

(4) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$

(5) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x)$

2. 解き方の手順

(1) $x \to -\infty$ のとき、$2^x \to 0$ となることを利用します。

(2) $3^{-x} = \frac{1}{3^x}$と変形できます。$x \to \infty$ のとき、$3^x \to \infty$ なので、$\frac{1}{3^x} \to 0$ となります。

(3) $x \to \infty$ のとき、$\log_2 x$ も $\infty$ に発散します。

(4) $x \to +0$ のとき、$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log x}{\log \frac{1}{3}} = \frac{\log x}{-\log 3} = -\frac{\log x}{\log 3}$ と変形できます。$x \to +0$ のとき、$\log x \to -\infty$ なので、$-\frac{\log x}{\log 3} \to \infty$ となります。

(5) $3^x$ は $2^x$ より増加が速いので、$x \to \infty$ のとき、$3^x - 2^x \to \infty$ となります。

あるいは、$3^x - 2^x = 3^x(1 - (\frac{2}{3})^x)$と変形できます。$x \to \infty$ のとき、$3^x \to \infty$ であり、$(\frac{2}{3})^x \to 0$ なので、$1 - (\frac{2}{3})^x \to 1$ となります。よって、$3^x(1 - (\frac{2}{3})^x) \to \infty$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x = \infty$

(4) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x = \infty$

(5) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x) = \infty$