次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

これは、$e^x$ の $x=0$ における微分係数の定義そのものです。つまり、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \frac{d}{dx} e^x |_{x=0} = e^0 = 1$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

$\cos x$ のマクローリン展開を考えると、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$

$\frac{3x^2}{\cos x - 1} = \frac{3x^2}{-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots} = \frac{3}{-\frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \dots}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \frac{3}{-\frac{1}{2}} = -6$

または、ロピタルの定理を2回使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x} = \frac{6}{-1} = -6$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -6