行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -13 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^2$ と $A^3$ を求める。

## 問題の回答

### 問題2.(1)

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -13 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^2$ と $A^3$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の固有多項式を求める。

$p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -4-\lambda & -13 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (-4-\lambda)(3-\lambda) - (-13)(1) = -12 + 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 + 13 = \lambda^2 + \lambda + 1$

ケーリー・ハミルトンの定理より、$p(A) = A^2 + A + I = 0$。

したがって、$A^2 = -A - I = -\begin{pmatrix} -4 & -13 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 13 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 13 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$

次に、$A^3$ を求める。

$A^3 = A \cdot A^2 = A(-A-I) = -A^2 - A = -(-A-I) - A = A+I-A = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 13 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

### 問題2.(2)

1. 問題の内容

行列 $B = \begin{pmatrix} 1-\sqrt{3} & 2-\sqrt{3} \\ -7-2\sqrt{3} & -1+2\sqrt{3} \end{pmatrix}$ に対して、$B + B^{-1}$ と $B^3 + B^{-3}$ を求める。ただし、$B^{-3} = (B^{-1})^3$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

$\det(B) = (1-\sqrt{3})(-1+2\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})(-7-2\sqrt{3}) = -1 + 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 6 - (-14 - 4\sqrt{3} + 7\sqrt{3} + 6) = -7 + 3\sqrt{3} - (-8 + 3\sqrt{3}) = -7 + 3\sqrt{3} + 8 - 3\sqrt{3} = 1$

$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\begin{pmatrix} -1+2\sqrt{3} & -2+\sqrt{3} \\ 7+2\sqrt{3} & 1-\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+2\sqrt{3} & -2+\sqrt{3} \\ 7+2\sqrt{3} & 1-\sqrt{3} \end{pmatrix}$

$B + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1-\sqrt{3} & 2-\sqrt{3} \\ -7-2\sqrt{3} & -1+2\sqrt{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1+2\sqrt{3} & -2+\sqrt{3} \\ 7+2\sqrt{3} & 1-\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$

次に、$B^3 + B^{-3}$ を求める。

$B + B^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$ より、

$(B + B^{-1})^3 = B^3 + 3B + 3B^{-1} + B^{-3} = B^3 + B^{-3} + 3(B + B^{-1})$

したがって、$B^3 + B^{-3} = (B + B^{-1})^3 - 3(B + B^{-1})$

$B + B^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$ より、

$(B+B^{-1})^2 = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2\sqrt{3} \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

$(B+B^{-1})^3 = (B+B^{-1})^2(B+B^{-1}) = \begin{pmatrix} 3 & -2\sqrt{3} \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\sqrt{3} & -5\sqrt{3} \\ 0 & 3\sqrt{3} \end{pmatrix}$

$B^3 + B^{-3} = \begin{pmatrix} 3\sqrt{3} & -5\sqrt{3} \\ 0 & 3\sqrt{3} \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\sqrt{3} & -5\sqrt{3} \\ 0 & 3\sqrt{3} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\sqrt{3} & -3\sqrt{3} \\ 0 & 3\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2\sqrt{3} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$B + B^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$

$B^3 + B^{-3} = \begin{pmatrix} 0 & -2\sqrt{3} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

### 問題3.(1)

1. 問題の内容

点 $(1,0)$ を $(1-t^2, -2t)$ に、点 $(1,1)$ を $(1+2t-t^2, 1-2t-t^2)$ に移す移動を表す行列 $A$ を求める。ただし、$t$ は $-1 < t < 1$ を満たす実数とする。

2. 解き方の手順

求める行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-t^2 \\ -2t \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2t-t^2 \\ 1-2t-t^2 \end{pmatrix}$

これから、$a = 1-t^2$、$c = -2t$、$a+b = 1+2t-t^2$、$c+d = 1-2t-t^2$。

$b = 1+2t-t^2 - a = 1+2t-t^2 - (1-t^2) = 2t$

$d = 1-2t-t^2 - c = 1-2t-t^2 - (-2t) = 1-t^2$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{pmatrix}$

### 問題3.(2)

1. 問題の内容

点 $(\frac{3}{4}, -1)$ を $(1,0)$ に、点 $(\frac{7}{4}, -\frac{1}{4})$ を $(1,1)$ に移す移動を表す行列 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

求める行列を $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{7}{4} \\ -\frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これから、$\frac{3}{4}a - b = 1$、$\frac{3}{4}c - d = 0$、$\frac{7}{4}a - \frac{1}{4}b = 1$、$\frac{7}{4}c - \frac{1}{4}d = 1$。

$\frac{7}{4}a - \frac{1}{4}b = 1$ を 4倍して、$7a - b = 4$

$\frac{3}{4}a - b = 1$ を 4倍して、$3a - 4b = 4$

$7a - b = 4$ より、$b = 7a - 4$

$3a - (7a - 4) = 4$

$-4a + 4 = 4$

$-4a = 0$

$a = 0$

$b = 7(0) - 4 = -4$

$\frac{7}{4}c - \frac{1}{4}d = 1$ を 4倍して、$7c - d = 4$

$\frac{3}{4}c - d = 0$ を 4倍して、$3c - 4d = 0$

$3c = 4d$ より、$c = \frac{4}{3}d$

$7(\frac{4}{3}d) - d = 4$

$\frac{28}{3}d - d = 4$

$\frac{25}{3}d = 4$

$d = \frac{12}{25}$

$c = \frac{4}{3}(\frac{12}{25}) = \frac{16}{25}$

3. 最終的な答え

$B = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ \frac{16}{25} & \frac{12}{25} \end{pmatrix}$