関数 $f(x) = \frac{x+2}{x-a}$ について、$f^{-1}(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x+2}{x-a}$ について、$f^{-1}(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

$y = \frac{x+2}{x-a}$ とおくと、$x = \frac{ay+2}{y-1}$ となる。

よって、$f^{-1}(x) = \frac{ax+2}{x-1}$ である。

$f^{-1}(x) = f(x)$ より、$\frac{ax+2}{x-1} = \frac{x+2}{x-a}$ である。

これから、$ax+2(x-a) = (x+2)(x-1)$が成り立つので

$ax+2)(x-a) = (x+2)(x-1)$

$$(ax+2)(x-a) = (x+2)(x-1)$$

$$ax-a^2 = x -1$$

$$ax^2 - a^2x + 2x -2a = x^2 +x - 2$$

係数を比較すると、$ax = x$.

よって$a=1$.

また、$f^{-1}(x) = f(x)$ であることから、$f(f(x)) = x$ である。

$f(f(x)) = f(\frac{x+2}{x-a}) = \frac{\frac{x+2}{x-a}+2}{\frac{x+2}{x-a}-a} = \frac{x+2+2(x-a)}{x+2-a(x-a)} = \frac{3x+2-2a}{(1-a)x+2+a^2}$

$f(f(x)) = x$ より、$\frac{3x+2-2a}{(1-a)x+2+a^2} = x$.

$3x+2-2a = (1-a)x^2 + (2+a^2)x$ がすべての $x$ について成り立つ必要がある。

そのためには、係数比較を行う。

$1-a=0$ から $a=1$

$2+a^2 = 3$ から $a^2 = 1$, よって $a = \pm 1$

$2-2a = 0$ から $a=1$

ここで、$a=1$を元の式に代入すると、$f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ であり、$f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-1}$ となるので、$f^{-1}(x) = f(x)$ は成立する。

したがって、$a = 1$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

$a = 1$