50円硬貨を3枚同時に投げ、表が出た硬貨を全て貰えるゲームがある。このゲームにおける受け取る金額の期待値を求め、参加料が1回80円の場合、このゲームに参加することが得策かどうかを判断する。

1. 問題の内容

50円硬貨を3枚同時に投げ、表が出た硬貨を全て貰えるゲームがある。このゲームにおける受け取る金額の期待値を求め、参加料が1回80円の場合、このゲームに参加することが得策かどうかを判断する。

2. 解き方の手順

まず、3枚の硬貨を投げた時に表が出る枚数の確率を求める。

硬貨を1枚投げる時、表が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。3枚の硬貨を投げる場合、考えられる全ての場合の数は $2^3 = 8$ 通りである。

- 表が0枚出る確率：3枚とも裏が出る確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

- 表が1枚出る確率：$_3C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

- 表が2枚出る確率：$_3C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

- 表が3枚出る確率：$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

次に、それぞれの表の枚数に対応する金額を計算する。

- 表が0枚の場合：受け取る金額は0円

- 表が1枚の場合：受け取る金額は50円

- 表が2枚の場合：受け取る金額は100円

- 表が3枚の場合：受け取る金額は150円

期待値を計算する。期待値は、それぞれの金額とその金額を得られる確率の積の合計で求められる。

期待値 = (0円 $\times \frac{1}{8}$) + (50円 $\times \frac{3}{8}$) + (100円 $\times \frac{3}{8}$) + (150円 $\times \frac{1}{8}$)

期待値 = $0 + \frac{150}{8} + \frac{300}{8} + \frac{150}{8}$

期待値 = $\frac{600}{8}$ = 75円

ゲームの参加料は80円であり、期待値は75円なので、ゲームに参加するのは損である。

3. 最終的な答え

受け取る金額の期待値は75円です。

このゲームの参加料が80円の場合、ゲームに参加することは得とは言えません。