次の条件を満たす整式A, Bを求めます。 (1) Aを $x^2 + x + 1$ で割ると、商が $x - 1$、余りが $2x + 1$ (2) $x^3 + x^2 - 2x + 1$ をBで割ると、商が $x - 1$、余りが $3x - 2$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の条件を満たす整式A, Bを求めます。

(1) Aを $x^2 + x + 1$ で割ると、商が $x - 1$、余りが $2x + 1$

(2) $x^3 + x^2 - 2x + 1$ をBで割ると、商が $x - 1$、余りが $3x - 2$

2. 解き方の手順

(1) 整式Aを求める

割る式が $x^2 + x + 1$、商が $x - 1$、余りが $2x + 1$なので、

$A = (x^2 + x + 1)(x - 1) + (2x + 1)$

$A = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 + 2x + 1$

$A = x^3 + 2x$

(2) 整式Bを求める

$x^3 + x^2 - 2x + 1$ をBで割ると、商が $x - 1$、余りが $3x - 2$なので、

$x^3 + x^2 - 2x + 1 = B(x - 1) + (3x - 2)$

$B(x - 1) = x^3 + x^2 - 2x + 1 - (3x - 2)$

$B(x - 1) = x^3 + x^2 - 5x + 3$

ここで、因数定理より、$x=1$ を代入すると $1^3 + 1^2 - 5(1) + 3 = 1 + 1 - 5 + 3 = 0$なので、$x-1$ は $x^3 + x^2 - 5x + 3$ の因数である。

よって、$x^3 + x^2 - 5x + 3$ を $x-1$ で割ると、

$x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x-1)(x^2 + 2x - 3)$

$B(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 2x - 3)$

$B = x^2 + 2x - 3$

$B = (x+3)(x-1)$

3. 最終的な答え

(1) $A = x^3 + 2x$

(2) $B = x^2 + 2x - 3$