ある整式を $x+2$ で割ったとき、商が $x^2+x+4$ であり、余りが $3$ である。この整式を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

ある整式を $x+2$ で割ったとき、商が $x^2+x+4$ であり、余りが $3$ である。この整式を求めよ。

2. 解き方の手順

整式を $P(x)$ とすると、問題文から次の式が成り立つ。

$P(x) = (x+2)(x^2+x+4) + 3$

この式を展開して $P(x)$ を求める。

$P(x) = x(x^2+x+4) + 2(x^2+x+4) + 3$

$P(x) = x^3 + x^2 + 4x + 2x^2 + 2x + 8 + 3$

$P(x) = x^3 + (x^2 + 2x^2) + (4x + 2x) + (8 + 3)$

$P(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 11$

3. 最終的な答え

求める整式は $x^3 + 3x^2 + 6x + 11$ である。