数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $a_k$ を求めます。

$a_k = k(n+2-k)$と表せます。

なぜなら、第1項は$1(n+1)$、第2項は$2(n)$、第3項は$3(n-1)$であり、$k$番目の項は$k$と$(n+2-k)$の積で表せるからです。

数列の項数は$n$です。

したがって、求める和は$\sum_{k=1}^{n} a_k$となります。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(n+2-k)$

$= \sum_{k=1}^{n} (nk + 2k - k^2)$

$= n \sum_{k=1}^{n} k + 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2$

$= (n+2) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

上記を代入して、

$= (n+2) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)}{6} [3(n+2) - (2n+1)]$

$= \frac{n(n+1)}{6} (3n+6-2n-1)$

$= \frac{n(n+1)(n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+5)}{6}$