ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$, $\vec{b} = (1, -4)$, $\vec{c} = (-1, 2)$ が与えられている。$\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{c}$ と平行になるような実数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$, $\vec{b} = (1, -4)$, $\vec{c} = (-1, 2)$ が与えられている。$\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{c}$ と平行になるような実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$$\vec{a} + t\vec{b} = (3, -2) + t(1, -4) = (3+t, -2-4t)$$

$\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{c}$ と平行であるということは、ある実数 $k$ が存在して、

$$\vec{a} + t\vec{b} = k\vec{c}$$

が成り立つということである。したがって、

$$(3+t, -2-4t) = k(-1, 2)$$

これは、

$$3+t = -k$$

$$-2-4t = 2k$$

という2つの式になる。この連立方程式を解く。

1つ目の式から、$k = -3 - t$ となる。これを2つ目の式に代入する。

$$-2 - 4t = 2(-3 - t)$$

$$-2 - 4t = -6 - 2t$$

$$-2t = -4$$

$$t = 2$$

$t = 2$ を $3+t = -k$ に代入すると、

$3+2 = -k$

$k = -5$

したがって、

$\vec{a} + 2\vec{b} = (3+2, -2-4(2)) = (5, -10)$

$-5\vec{c} = -5(-1, 2) = (5, -10)$

となり、$\vec{a} + 2\vec{b} = -5\vec{c}$ なので、$\vec{a} + 2\vec{b}$ は $\vec{c}$ と平行である。

3. 最終的な答え

$t = 2$