A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、4人全員が出す手の組み合わせの総数を求める。各人がグー、チョキ、パーの3通りの手を出すことができるので、手の組み合わせの総数は $3^4 = 81$ 通りである。

あいこになるのは、以下の3つのパターンがある。

(i) 全員が同じ手を出す場合

4人全員がグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、3通り。

(ii) 3種類のすべての手が出る場合

4人のうち、誰がどの手を出すかを考える。

まず、4人の中から3つの手（グー、チョキ、パー）を出す3人を選ぶ。これは4人から3人を選ぶ組み合わせなので、${}_4C_3 = 4$ 通り。

次に、3つの手（グー、チョキ、パー）を出す3人の手の組み合わせを考える。これは3! = 6通り。

最後に、残りの1人は、すでに誰かが出している手のどれかを出せばあいこになるので、その手は3通り。

したがって、$4 \times 2 = 8$通り

(iii) 2種類のすべての手が出る場合

2種類の手で引き分けになるのは、全員が同じ手を出す場合を除き、2人が同じ手を出し、残りの2人が同じ手を出す場合のみである。

まず、どの2種類の組み合わせの手を出すかを選ぶ。これは3種類から2種類を選ぶので、${}_3C_2 = 3$ 通り。

次に、4人の中からどっちの2人が片方の手を出すかを選ぶ。これは${}_4C_2 = 6$通り。

したがって、$3 \times 6 = 18$通り

あいこになるのは,以下の3パターンがある.

1. 全員が同じ手の場合(3通り)

2. 2人が同じ手を出し、残りの2人が同じ手を出す場合。この場合、手の組み合わせは3C2=3通りで、人の組み合わせは4C2=6通りなので、3x6=18通り。

3. 3種類のすべての手が出る場合(12通り)

これは、例えばグーを2人、チョキを1人、パーを1人出す場合。グーを出す2人の選び方は4C2=6通り。残りの2人からチョキを出す人を選ぶのは2C1=2通り。パーを出す人は自動的に決まる。したがって、このパターンは6x2=12通り。

あいこになる場合の数は、

$3 + 12 + 6 = 21$ 通り

あいこになる確率は、あいこになる場合の数をすべての場合の数で割ればよいので、

$18/81 = 2/9$

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、3種類の手がすべて出るか、2種類の手が出てそれぞれ2人ずつが同じ手を出すかのいずれかです。

3. 最終的な答え

2/9