台形ABCDにおいて、$AD // BC$ かつ $AD : BC = 1 : 2$である。辺ABを$1:3$に内分する点をE、辺CDを$4:3$に内分する点をF、対角線ACとBDの交点をPとする。このとき、点Pが直線EF上にあることを証明せよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AD // BC$ かつ $AD : BC = 1 : 2$である。辺ABを$1:3$に内分する点をE、辺CDを$4:3$に内分する点をF、対角線ACとBDの交点をPとする。このとき、点Pが直線EF上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$, $\vec{d} = \vec{OD}$ とおく。

条件より $2 \vec{AD} = \vec{BC}$であるから、

$2(\vec{d} - \vec{a}) = \vec{c} - \vec{b}$

$2\vec{d} - 2\vec{a} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{c} = 2\vec{d} - 2\vec{a} + \vec{b}$

点Eは辺ABを1:3に内分するので、

$\vec{e} = \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}$

点Fは辺CDを4:3に内分するので、

$\vec{f} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{d}}{7} = \frac{3(2\vec{d} - 2\vec{a} + \vec{b}) + 4\vec{d}}{7} = \frac{-6\vec{a} + 3\vec{b} + 10\vec{d}}{7}$

点Pは対角線AC上にあるので、実数sを用いて

$\vec{p} = (1-s)\vec{a} + s\vec{c} = (1-s)\vec{a} + s(2\vec{d} - 2\vec{a} + \vec{b}) = (1-3s)\vec{a} + s\vec{b} + 2s\vec{d}$

点Pは対角線BD上にあるので、実数tを用いて

$\vec{p} = (1-t)\vec{b} + t\vec{d}$

したがって、$(1-3s)\vec{a} + s\vec{b} + 2s\vec{d} = (1-t)\vec{b} + t\vec{d}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ は一次独立なので、$1-3s = 0$, $s = 1-t$, $2s = t$

$1-3s = 0$ より $s = \frac{1}{3}$

$2s = t$ より $t = \frac{2}{3}$

$s = 1-t$ より $\frac{1}{3} = 1-\frac{2}{3}$ で成立する。

よって、$\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

$\vec{EP} = \vec{p} - \vec{e} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{5}{12}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{-6\vec{a} + 3\vec{b} + 10\vec{d}}{7} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4} = \frac{-24\vec{a} + 12\vec{b} + 40\vec{d} - 21\vec{a} - 7\vec{b}}{28} = \frac{-45\vec{a} + 5\vec{b} + 40\vec{d}}{28}$

$\vec{EP} = k\vec{EF}$ となるkが存在することを示したい。

$-\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{5}{12}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} = k(\frac{-45\vec{a} + 5\vec{b} + 40\vec{d}}{28})$

係数を比較して、

$-\frac{3}{4} = k(\frac{-45}{28})$

$\frac{5}{12} = k(\frac{5}{28})$

$\frac{2}{3} = k(\frac{40}{28})$

$-\frac{3}{4} = k(\frac{-45}{28})$ より $k = \frac{3}{4} \cdot \frac{28}{45} = \frac{7}{15}$

$\frac{5}{12} = k(\frac{5}{28})$ より $k = \frac{5}{12} \cdot \frac{28}{5} = \frac{7}{3 \cdot 1} = \frac{7}{3}$

$\frac{2}{3} = k(\frac{40}{28})$ より $k = \frac{2}{3} \cdot \frac{28}{40} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{15}$

kの値が一つに定まらないので、途中で計算間違いがある。

点Pは線分AC上にあるので、$\vec{AP} = s \vec{AC}$とおける.

$\vec{p} - \vec{a} = s ( \vec{c} - \vec{a} ) = s ( 2 \vec{d} - 3 \vec{a} + \vec{b} )$より$\vec{p} = (1-3s) \vec{a} + s \vec{b} + 2s \vec{d}$

点Pは線分BD上にあるので、$\vec{BP} = t \vec{BD}$とおける.

$\vec{p} - \vec{b} = t ( \vec{d} - \vec{b} )$より$\vec{p} = (1-t) \vec{b} + t \vec{d}$

係数比較して$1-3s = 0$, $s = 1-t$, $2s = t$. これを解くと、$s = \frac{1}{3}$, $t = \frac{2}{3}$.

よって、$\vec{p} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d}$.

$\vec{e} = \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}$, $\vec{f} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{d}}{7} = \frac{3(2\vec{d} - 2\vec{a} + \vec{b}) + 4\vec{d}}{7} = \frac{-6\vec{a} + 3\vec{b} + 10\vec{d}}{7}$.

$\vec{EF} = \frac{-6\vec{a} + 3\vec{b} + 10\vec{d}}{7} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4} = \frac{-45\vec{a} + 5\vec{b} + 40\vec{d}}{28}$.

$\vec{EP} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4} = \frac{-9\vec{a} + 5\vec{b} + 8\vec{d}}{12}$.

$\vec{EP} = k \vec{EF}$とおくと、$\frac{-9\vec{a} + 5\vec{b} + 8\vec{d}}{12} = k \frac{-45\vec{a} + 5\vec{b} + 40\vec{d}}{28}$.

係数比較して、$\frac{-9}{12} = k \frac{-45}{28}$, $\frac{5}{12} = k \frac{5}{28}$, $\frac{8}{12} = k \frac{40}{28}$より$k = \frac{7}{15}$.

したがって、$\vec{EP} = \frac{7}{15} \vec{EF}$なので、点Pは直線EF上にある。

3. 最終的な答え

点Pは直線EF上にある。