問題は、三角比、正弦定理・余弦定理に関する穴埋め問題です。具体的には、以下の内容を問われています。 * 直角三角形の線分の長さの比を求め、線分の長さを計算する。 * 正弦の比から辺の比を求め、余弦、正弦を計算する。 * 三角形の辺の長さと一つの角の大きさから、残りの辺の長さ、外接円の半径、面積を計算する。

1. 問題の内容

問題は、三角比、正弦定理・余弦定理に関する穴埋め問題です。具体的には、以下の内容を問われています。

* 直角三角形の線分の長さの比を求め、線分の長さを計算する。

* 正弦の比から辺の比を求め、余弦、正弦を計算する。

* 三角形の辺の長さと一つの角の大きさから、残りの辺の長さ、外接円の半径、面積を計算する。

2. 解き方の手順

* **問題2：線分の長さと三角比**

$\cos \angle CAB = \frac{1}{3}$ より、$\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{2} = \frac{1}{3}$。

したがって、$AH = \frac{2}{3}$。

三平方の定理より、$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$。

$\cos A = \frac{1}{3}$ なので、$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

$\sin A = \frac{BC}{AB}$ より、$AB = \frac{BC}{\sin A}$。

$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{\frac{BC}{\sin A}}$ だから、$\cos A = \frac{AC\sin A}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{BC} = \frac{1}{3}$。

よって、$BC = 4\sqrt{2}$。

* **問題3：正弦定理・余弦定理(1)**

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。したがって、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C = 8:7:5$。

よって、$AB:BC:CA = 8:7:5$。

(2) 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。

$a = 8k, b = 7k, c = 5k$ とすると、

$\cos A = \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (8k)^2}{2 \cdot 7k \cdot 5k} = \frac{49k^2 + 25k^2 - 64k^2}{70k^2} = \frac{10k^2}{70k^2} = \frac{1}{7}$。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$。

$\sin A = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$。

* **問題4：正弦定理・余弦定理(2)**

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$。

$BC = \sqrt{7}$。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$（$R$は外接円の半径）。

$2R = \frac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$。

$R = \frac{\sqrt{21}}{3}$。

$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

3. 最終的な答え

* 問題2：AH = 2/3, BC = 4√2

* 問題3：(1) AB:BC:CA = 8:7:5, (2) cosA = 1/7, sinA = (4√3)/7

* 問題4：BC = √7, 外接円の半径 = (√21)/3, 面積 = (3√3)/2