三角形ABCにおいて、AB=12, BC=7, CA=9である。辺BC上に点DをBD=4となるようにとる。点Aを通り、線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、BEの長さを求め、さらに三角形ACDの面積が三角形ACEの面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=12, BC=7, CA=9である。辺BC上に点DをBD=4となるようにとる。点Aを通り、線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、BEの長さを求め、さらに三角形ACDの面積が三角形ACEの面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABE$ と $\triangle ADC$ が相似であることを示す。問題文より、AEはADに垂直であるので、$\angle DAE = 90^\circ$。したがって、$\angle EAB = \angle DAE - \angle DAB = 90^\circ - \angle DAB$。また、$\angle DAC = \angle BAC - \angle BAD$。

ここで、$\angle BEA = \theta$ とおくと、$\angle ADE = 90^\circ - \theta$である。したがって、$\angle ADC = 180^\circ - (90^\circ - \theta) = 90^\circ + \theta$となる。

ここで、$\triangle ABE$ と $\triangle ADC$ について考えると、$\angle AEB = \theta$ であり、また $\angle DAC = 90^\circ$ より、

$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD = 180^\circ - (90^\circ - \theta) = 90^\circ + \theta$となる。

したがって、$\angle AEB = \angle CAD$ 、 $\angle ABE = \angle ACD$ となるので、$\triangle ABE \sim \triangle DAC$である。

相似な三角形の辺の比は等しいので、

$\frac{AB}{DA} = \frac{BE}{AC} = \frac{AE}{DC}$

$\frac{AE}{DC} = \frac{AB}{AD}$

$\frac{BE}{CA} = \frac{AB}{AD}$

$BC=7$, $BD=4$ より $CD = BC - BD = 7 - 4 = 3$。

$BE = x$ とすると、$BE/CA = AB/DC$より、$BE:9 = 12:3$ から $3x = 12*9 = 108$, $x = 36$

したがって、$BE = 36$

面積比を考える。

$\frac{S_{ACD}}{S_{ACE}} = \frac{CD}{CE}$

$CE = BC+BE = 7+36 = 43$。

$\frac{S_{ACD}}{S_{ACE}} = \frac{3}{43}$。

したがって、$\triangle ACD$ の面積は $\triangle ACE$ の面積の $\frac{3}{43}$ 倍である。

3. 最終的な答え

BE = 36

$\triangle ACD$ の面積は $\triangle ACE$ の面積の $\frac{3}{43}$ 倍である。