与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2+3x+1$ (2) $x^2-2x+2$ (3) $3x^2-2x+1$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^2+3x+1$

(2) $x^2-2x+2$

(3) $3x^2-2x+1$

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2+bx+c$ を因数分解するには、まず2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を求めます。

判別式を$D=b^2-4ac$とすると、解は

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

となります。解を $\alpha, \beta$ とすると、因数分解は $a(x-\alpha)(x-\beta)$ となります。

(1) $x^2+3x+1=0$ を解きます。

$D = 3^2 - 4(1)(1) = 9-4 = 5$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

よって、因数分解は $\left(x - \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\right)$

(2) $x^2-2x+2=0$ を解きます。

$D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4-8 = -4$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

よって、因数分解は $(x - (1+i))(x - (1-i))$

(3) $3x^2-2x+1=0$ を解きます。

$D = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4-12 = -8$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2(3)} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{2}i}{3}$

よって、因数分解は $3\left(x - \frac{1+\sqrt{2}i}{3}\right)\left(x - \frac{1-\sqrt{2}i}{3}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $\left(x - \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\right)$

(2) $(x - (1+i))(x - (1-i))$

(3) $3\left(x - \frac{1+\sqrt{2}i}{3}\right)\left(x - \frac{1-\sqrt{2}i}{3}\right)$