2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 3 > 0$ の解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を、選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 3 > 0$ の解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を、選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解がすべての実数であるための条件は、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ である。

この問題の場合、$a = 1 > 0$ であるから、判別式について $D < 0$ を考えれば良い。

$D = k^2 - 4(1)(2k - 3) = k^2 - 8k + 12$

$D < 0$ となるためには、

$k^2 - 8k + 12 < 0$

$(k - 2)(k - 6) < 0$

これを解くと、

$2 < k < 6$

3. 最終的な答え

$2 < k < 6$

解答番号は③。