与えられた5つの数学の問題に答えなさい。 (1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。 (2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開して整理する。 (3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \leq 4x - 1 \end{cases}$ を解く。 (5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた5つの数学の問題に答えなさい。

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開して整理する。

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \leq 4x - 1 \end{cases}$ を解く。

(5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

たすき掛けを用いて、$6x^2 - 5x - 21 = (2x - 3)(3x + 7)$

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開して整理する。

$(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) = (a + (2b - 3))(a - (2b - 3)) = a^2 - (2b - 3)^2 = a^2 - (4b^2 - 12b + 9) = a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

$\sqrt{7} \approx 2.646$ であるから、$\sqrt{7} - 2 > 0$ かつ $\sqrt{7} - 3 < 0$ である。

したがって、 $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$ かつ $|\sqrt{7} - 3| = -(\sqrt{7} - 3) = 3 - \sqrt{7}$

よって、 $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| = (\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = 1$

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \leq 4x - 1 \end{cases}$ を解く。

上の不等式: $\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \Rightarrow 5x - 2 < 2x + 3 \Rightarrow 3x < 5 \Rightarrow x < \frac{5}{3}$

下の不等式: $\frac{4x+3}{2} \leq 4x - 1 \Rightarrow 4x + 3 \leq 8x - 2 \Rightarrow 5 \leq 4x \Rightarrow x \geq \frac{5}{4}$

したがって、$\frac{5}{4} \leq x < \frac{5}{3}$

(5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (2\sqrt{5})^2 - 2(-7) = 20 + 14 = 34$

$a^2 + b^2 - 3ab = 34 - 3(-7) = 34 + 21 = 55$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 3)(3x + 7)$

(2) $a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $1$

(4) $\frac{5}{4} \leq x < \frac{5}{3}$

(5) $55$