$\sqrt{12}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とします。 (1) $a$ と $b$ を求めなさい。 (2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めなさい。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$\sqrt{12}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とします。

(1) $a$ と $b$ を求めなさい。

(2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sqrt{12}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

次に、$\sqrt{3}$ の近似値を考えます。

$1 < \sqrt{3} < 2$ であることは分かります。

より詳しく、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ であるとします。（問題文中に記載あり）

したがって、$2 \times 1.7 < 2\sqrt{3} < 2 \times 1.8$ となり、$3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6$ となります。

よって、$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ の整数の部分は $3$ なので、$a = 3$ です。

小数の部分 $b$ は、$\sqrt{12}$ から整数の部分 $a$ を引いたものです。

$b = \sqrt{12} - a = 2\sqrt{3} - 3$

(2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めます。

$\frac{a}{b} = \frac{3}{2\sqrt{3} - 3}$

分母を有理化します。

$\frac{3}{2\sqrt{3} - 3} = \frac{3(2\sqrt{3} + 3)}{(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)} = \frac{3(2\sqrt{3} + 3)}{(2\sqrt{3})^2 - 3^2} = \frac{3(2\sqrt{3} + 3)}{12 - 9} = \frac{3(2\sqrt{3} + 3)}{3} = 2\sqrt{3} + 3$

$3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6$ より、

$3.4 + 3 < 2\sqrt{3} + 3 < 3.6 + 3$

$6.4 < 2\sqrt{3} + 3 < 6.6$

よって、$\frac{a}{b} = 2\sqrt{3} + 3$ の整数の部分は $6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = 2\sqrt{3} - 3$

(2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分は $6$