(1) 複素数平面上で、等式 $|3z-4i| = 2|z-3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。 (2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上で、等式 $|3z-4i| = 2|z-3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。

(2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$|3z-4i| = 2|z-3i|$ の両辺を2乗すると

$|3z-4i|^2 = 4|z-3i|^2$

$(3z-4i)(3\overline{z}+4i) = 4(z-3i)(\overline{z}+3i)$

$9z\overline{z} + 12z\overline{i} - 12\overline{z}i + 16 = 4z\overline{z} + 12z\overline{i} - 12\overline{z}i + 36$

$5z\overline{z} = 20$

$z\overline{z} = 4$

$|z|^2 = 4$

$|z| = 2$

よって、原点を中心とする半径2の円である。

(2)

(1)より、$z = 2(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($0 \leq \theta \leq 2\pi$) と表せる。

このとき、$\frac{1}{z} = \frac{1}{2(\cos\theta + i\sin\theta)} = \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{2} = \frac{1}{2}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径2の円

(2) (途中まで)