関数 $y = x \log(2x) + 1$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x \log(2x) + 1$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、積の法則を使います。積の法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が以下のようになるというものです。

$\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

この問題では、$u(x) = x$ であり、$v(x) = \log(2x) + 1$ です。まず、それぞれの導関数を求めます。

$u'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$

$v'(x) = \frac{d}{dx} [\log(2x) + 1]$

ここで、$\log(2x)$ の微分には合成関数の微分を使います。$\log(2x) = \log(u)$ とおくと、$u = 2x$ です。

$\frac{d}{dx} \log(2x) = \frac{d}{du} \log(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2 = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

したがって、$v'(x) = \frac{1}{x}$ となります。

では、積の法則を用いて $y$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \cdot (\log(2x) + 1) + x \cdot \frac{1}{x} = \log(2x) + 1 + 1 = \log(2x) + 2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \log(2x) + 2$