$x = \sqrt{7} - 4$、$y = \sqrt{7} + 4$ のとき、以下の式の値を求めなさい。 (1) $xy + y^2$ (2) $x^2 - 2xy + y^2$ (3) $x^2 - y^2$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

$x = \sqrt{7} - 4$、$y = \sqrt{7} + 4$ のとき、以下の式の値を求めなさい。

(1) $xy + y^2$

(2) $x^2 - 2xy + y^2$

(3) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $xy + y^2$ の計算

まず、$xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} + 4) = (\sqrt{7})^2 - 4^2 = 7 - 16 = -9$

次に、$y^2$ を計算します。

$y^2 = (\sqrt{7} + 4)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + 4^2 = 7 + 8\sqrt{7} + 16 = 23 + 8\sqrt{7}$

したがって、

$xy + y^2 = -9 + 23 + 8\sqrt{7} = 14 + 8\sqrt{7}$

(2) $x^2 - 2xy + y^2$ の計算

この式は $(x-y)^2$ と変形できます。

まず、$x - y$ を計算します。

$x - y = (\sqrt{7} - 4) - (\sqrt{7} + 4) = \sqrt{7} - 4 - \sqrt{7} - 4 = -8$

したがって、

$(x-y)^2 = (-8)^2 = 64$

(3) $x^2 - y^2$ の計算

この式は $(x+y)(x-y)$ と変形できます。

$x - y$ は(2)で既に計算済みで、 $x - y = -8$ です。

次に、$x + y$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{7} - 4) + (\sqrt{7} + 4) = \sqrt{7} - 4 + \sqrt{7} + 4 = 2\sqrt{7}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (2\sqrt{7})(-8) = -16\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $14 + 8\sqrt{7}$

(2) $64$

(3) $-16\sqrt{7}$