問題は3つのパートに分かれています。 (1) $2x + 7y \leq 15$ を満たす非負の整数 $(x, y)$ の組の数を求めます。 (2) 方程式 $x^2 - 6xy + 8y^2 + 5 = 0$ の正の整数解 $(x, y)$ を求めます。 (3) $f(x, y) = 2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 2$ を因数分解し、$f(x, y) = 63$ を満たす自然数 $x, y$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) $2x + 7y \leq 15$ を満たす非負の整数 $(x, y)$ の組の数を求めます。

(2) 方程式 $x^2 - 6xy + 8y^2 + 5 = 0$ の正の整数解 $(x, y)$ を求めます。

(3) $f(x, y) = 2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 2$ を因数分解し、$f(x, y) = 63$ を満たす自然数 $x, y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $2x + 7y \leq 15$ について、$y$ の値ごとに、$x$ の条件を満たす非負の整数解の数を数えます。

* $y = 0$ のとき、$2x \leq 15$ より $x \leq 7.5$。$x$ は非負の整数なので、$x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ の8個の解があります。

* $y = 1$ のとき、$2x + 7 \leq 15$ より $2x \leq 8$、$x \leq 4$。$x$ は非負の整数なので、$x = 0, 1, 2, 3, 4$ の5個の解があります。

* $y = 2$ のとき、$2x + 14 \leq 15$ より $2x \leq 1$、$x \leq 0.5$。$x$ は非負の整数なので、$x = 0$ の1個の解があります。

* $y \geq 3$ のとき、$2x + 7y > 15$ となり条件を満たしません。

よって、非負の整数解の数は、$8 + 5 + 1 = 14$ 組です。

(2) $x^2 - 6xy + 8y^2 + 5 = 0$ を変形します。

$x^2 - 6xy + 9y^2 - y^2 + 5 = 0$

$(x - 3y)^2 - y^2 + 5 = 0$

$(x - 3y)^2 = y^2 - 5$

$y^2 - 5 \geq 0$ である必要があるので、$y^2 \geq 5$。よって、$y \geq 3$。

$y = 3$ のとき $(x - 9)^2 = 4$ なので、$x - 9 = \pm 2$。よって、$x = 11$ または $x = 7$。

したがって、解は $(11, 3)$ と $(7, 3)$。

$y = 4$ のとき $(x - 12)^2 = 11$ となり、$x$ は整数になりません。

$y = 5$ のとき $(x - 15)^2 = 20$ となり、$x$ は整数になりません。

$y = 6$ のとき $(x - 18)^2 = 31$ となり、$x$ は整数になりません。

したがって、正の整数解は $(7, 3)$ と $(11, 3)$ です。

(3)

(1) $f(x, y) = 2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 2$ を因数分解します。

$f(x, y) = 2x^2 + (7y)x + (6y^2 - y - 2)$

$f(x, y) = 2x^2 + (7y)x + (2y - 1)(3y + 2)$

$f(x, y) = (2x + 3y + 2)(x + 2y - 1)$

(2) $f(x, y) = 63$ を満たす自然数 $x, y$ を求めます。

$(2x + 3y + 2)(x + 2y - 1) = 63$

$2x + 3y + 2 > 0$ と $x + 2y - 1 > 0$ であることに注意します。

また、$2x + 3y + 2 > x + 2y - 1$ です。なぜなら、$2x + 3y + 2 - (x + 2y - 1) = x + y + 3 > 0$ (x, y は自然数なので)。

63の約数の組み合わせを考えます。

$(63, 1), (21, 3), (9, 7)$

それぞれの組み合わせについて、連立方程式を解きます。

* $2x + 3y + 2 = 63, x + 2y - 1 = 1$ のとき、$x + 2y = 2$。しかし、x, yは自然数なので、これはありえません。

* $2x + 3y + 2 = 21, x + 2y - 1 = 3$ のとき、$2x + 3y = 19, x + 2y = 4$。

$2(x + 2y) = 8$ なので、$2x + 4y = 8$。

$(2x + 4y) - (2x + 3y) = 8 - 19$ より、$y = -11$ となり、自然数ではありません。

* $2x + 3y + 2 = 9, x + 2y - 1 = 7$ のとき、$2x + 3y = 7, x + 2y = 8$。

$2(x + 2y) = 16$ なので、$2x + 4y = 16$。

$(2x + 4y) - (2x + 3y) = 16 - 7$ より、$y = 9$。

$x + 2(9) = 8$ より、$x = 8 - 18 = -10$ となり、自然数ではありません。

$2x + 3y + 2 = 21$ と $x + 2y - 1 = 3$ がおかしいのではないか。

* $x + 2y = 4$ を満たす自然数は ($2, 1$) が考えられるが、これを $2x + 3y = 19$ に代入すると $2(2) + 3(1) = 7 \neq 19$ となり条件を満たさない。

$f(x, y) = (2x + 3y + 2)(x + 2y - 1) = 63$ について、正の約数の組み合わせは他に ($7, 9$) がある。

* $2x + 3y + 2 = 7, x + 2y - 1 = 9$ のとき、$2x + 3y = 5, x + 2y = 10$

$2(x+2y) = 20$ より $2x + 4y = 20$。

$2x+4y-(2x+3y)=y = 20 - 5 = 15$。

$x+2y = x + 2(15)=x+30=10$, $x = -20 < 0$ なので不適。

以上から，解なし

検算：

$(2x + 3y + 2)(x + 2y - 1) = 2x^2 + 4xy - 2x + 3xy + 6y^2 - 3y + 2x + 4y - 2 = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + y - 2$. $f(x,y) = 2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 2$ より $2x + 3y + 2$ と $x + 2y - 1$の符号が逆転している。

$f(x, y) = (2x + 3y - 1)(x + 2y + 2) = 63$を解く。

組み合わせは、(63,1)(21,3)(9,7)

(2x + 3y - 1 = 63) (x + 2y + 2 = 1) x+2y = -1 自然数解なし

(2x + 3y - 1 = 21) (x + 2y + 2 = 3) x + 2y = 1 自然数解なし

(2x + 3y - 1 = 9) (x + 2y + 2 = 7) x + 2y =

5. 2x + 3y = 10,

2x+4y = 10 -> y =0解なし。

(7,9)

2x + 3y - 1= 7, x + 2y + 2 = 9 -> 2x + 3y=8, x + 2y =7 -> 2x + 4y = 14-> y=6

x+12 = 7, x = -5なので解なし

3. 最終的な答え

1: 14

2: (7, 3), (11, 3)

3: (1) (x + 2y - 1)(2x + 3y + 2) (2) 解なし。

1 = 14

2 = (7, 3), (11, 3)

8 = 2

9 = -1

10 = 1

11 = 2

12 = -2

13 = 解なし

14 = 解なし