$a$を正の定数とするとき、$0 \leqq x \leqq a$における関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とするとき、$0 \leqq x \leqq a$における関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数$f(x)$を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

これは、頂点が$(1, 2)$の下に凸な放物線です。

次に、定義域$0 \leqq x \leqq a$における最大値を考えます。

場合分けをします。

(i) $0 < a < 1$のとき

$x = 0$で最大値をとります。

$f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$

(ii) $a = 1$のとき

$x = 0$で最大値をとります。

$f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$

(iii) $1 < a$のとき

$x = a$で最大値をとります。

$f(a) = a^2 - 2a + 3$

以上より、

(i) $0 < a \leqq 1$のとき、最大値は$3$。

(ii) $1 < a$のとき、最大値は$a^2 - 2a + 3$。

3. 最終的な答え

$0 < a \leqq 1$ のとき、最大値は $3$

$1 < a$ のとき、最大値は $a^2 - 2a + 3$