関数 $y = 4^x - 2^{x+2} + 1$ （$-1 \le x \le 3$）について、次の問いに答えます。 (1) $t = 2^x$ とおいて、$y$ を $t$ の関数で表し、さらに $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (2) $y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 4^x - 2^{x+2} + 1$ （$-1 \le x \le 3$）について、次の問いに答えます。

(1) $t = 2^x$ とおいて、$y$ を $t$ の関数で表し、さらに $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(2) $y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y$ を $t$ の関数で表します。

$y = 4^x - 2^{x+2} + 1 = (2^x)^2 - 2^2 \cdot 2^x + 1$

$t = 2^x$ を代入すると、

$y = t^2 - 4t + 1$

次に、$t$ のとりうる値の範囲を求めます。

$t = 2^x$ で、$-1 \le x \le 3$ なので、

$2^{-1} \le 2^x \le 2^3$

$\frac{1}{2} \le t \le 8$

(2)

$y = t^2 - 4t + 1$ ($\frac{1}{2} \le t \le 8$) の最大値と最小値を求めます。

$y = t^2 - 4t + 1 = (t - 2)^2 - 4 + 1 = (t - 2)^2 - 3$

グラフは下に凸な放物線で、軸は $t = 2$ です。

定義域 $\frac{1}{2} \le t \le 8$ における最大値と最小値を求めます。

$t = 2$ は定義域に含まれているので、最小値は $t = 2$ のときの値です。

$y = (2 - 2)^2 - 3 = -3$

最大値は、軸から最も遠い $t = 8$ のときの値です。

$y = (8 - 2)^2 - 3 = 6^2 - 3 = 36 - 3 = 33$

3. 最終的な答え

(1)

$y = t^2 - 4t + 1$

$\frac{1}{2} \le t \le 8$

(2)

最大値: 33

最小値: -3