曲線 $y = 2x^2 + 1$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 + 1$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。これは、接線の傾きを求めるために必要です。

$y' = \frac{dy}{dx} = 4x$

次に、点 $(1, 3)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数 $y'$ に $x = 1$ を代入することで得られます。

$y'(1) = 4(1) = 4$

したがって、点 $(1, 3)$ における接線の傾きは $4$ です。

次に、点 $(1, 3)$ を通り、傾きが $4$ の直線の方程式を求めます。これは、点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いると簡単です。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 4$ です。

$y - 3 = 4(x - 1)$

これを整理して、接線の方程式を求めます。

$y - 3 = 4x - 4$

$y = 4x - 1$

3. 最終的な答え

$y = 4x - 1$