全体集合を20以下の自然数の集合とし、12の約数の集合をA、18の約数の集合をBとする。以下の集合を求める問題。 (1) A (2) B (3) $A \cap B$ (4) $A \cup B$ (5) $A \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合を20以下の自然数の集合とし、12の約数の集合をA、18の約数の集合をBとする。以下の集合を求める問題。

(1) A

(2) B

(3) $A \cap B$

(4) $A \cup B$

(5) $A \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合U、集合A、集合Bをそれぞれ書き出す。

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

(1) Aは12の約数の集合なので、A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

(2) Bは18の約数の集合なので、B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

(3) $A \cap B$ は、AとB両方に含まれる要素の集合。

$A \cap B =$ {1, 2, 3, 6}

(4) $A \cup B$ は、AまたはBに含まれる要素の集合。

$A \cup B =$ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

(5) $\overline{B}$ は、Bに含まれない要素の集合。

$\overline{B} =$ {4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20}

$A \cap \overline{B}$ は、Aに含まれ、かつBに含まれない要素の集合。

$A \cap \overline{B} =$ {4, 12}

(6) $\overline{A}$ は、Aに含まれない要素の集合。

$\overline{A} =$ {5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

$\overline{B}$ は、Bに含まれない要素の集合。（上記参照）

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、AにもBにも含まれない要素の集合。

$\overline{A} \cap \overline{B} =$ {5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20}

3. 最終的な答え

(1) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

(2) B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

(3) $A \cap B$ = {1, 2, 3, 6}

(4) $A \cup B$ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

(5) $A \cap \overline{B}$ = {4, 12}

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$ = {5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20}