与えられた3つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる問題です。 (1) $x > y \implies -x < -y$ (2) $xy = 1 \implies x = 1 \text{ かつ } y = 1$ (3) $xy \leq 0 \implies x \leq 0 \text{ または } y \leq 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる問題です。

(1) $x > y \implies -x < -y$

(2) $xy = 1 \implies x = 1 \text{ かつ } y = 1$

(3) $xy \leq 0 \implies x \leq 0 \text{ または } y \leq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x > y \implies -x < -y$

両辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが変わることを利用します。

手順1：$x > y$ の両辺に $-1$ を掛けます。

$$-x < -y$$

したがって、命題は真です。

(2) $xy = 1 \implies x = 1 \text{ かつ } y = 1$

$xy = 1$ であっても、$x=1$ かつ $y=1$ とは限りません。

手順1：反例を探します。例えば、$x = 2$, $y = \frac{1}{2}$ の場合、$xy = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ ですが、$x = 1$ かつ $y = 1$ は成り立ちません。

したがって、命題は偽です。

(3) $xy \leq 0 \implies x \leq 0 \text{ または } y \leq 0$

$xy \leq 0$ の場合、$x$ と $y$ の少なくとも一方は 0 以下であることを示します。

手順1：$xy \leq 0$ を満たす場合を考えます。

(i) $x = 0$ のとき、$xy = 0 \leq 0$ となり、$x \leq 0$ を満たします。

(ii) $y = 0$ のとき、$xy = 0 \leq 0$ となり、$y \leq 0$ を満たします。

(iii) $x > 0$ のとき、$xy \leq 0$ となるためには、$y \leq 0$ である必要があります。

(iv) $y > 0$ のとき、$xy \leq 0$ となるためには、$x \leq 0$ である必要があります。

したがって、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽、反例：$x = 2, y = \frac{1}{2}$

(3) 真