与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{\cos^2 x}{2-\sin^2 x} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{\cos^2 x}{2-\sin^2 x} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、

$$\frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x}$$

と書き換えられます。

次に、$u = \sin x$ と置換します。すると、$du = \cos x dx$ となります。しかし、この置換では積分は簡単になりません。

別の方法として、

$$\frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} = \frac{2 - \sin^2 x - 1}{2 - \sin^2 x} = 1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x}$$

と変形できます。したがって、

$$\int \frac{\cos^2 x}{2-\sin^2 x} dx = \int \left( 1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x} \right) dx = \int dx - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$$

となります。

次に、$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$ を計算します。$\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ を用いると、

$$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1}{2 - \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}} dx = \int \frac{1 + \tan^2 x}{2 + 2\tan^2 x - \tan^2 x} dx = \int \frac{1 + \tan^2 x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx$$

ここで、$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x dx$ となるので、

$$\int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{2 + u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$$

したがって、

$$\int \frac{\cos^2 x}{2-\sin^2 x} dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$$

3. 最終的な答え

$$x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$$