問題は以下の通りです。 (4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ を証明せよ。ただし、$bd(b+d)(3b-5d) \neq 0$ とする。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ を証明せよ。ただし、$bd(b+d)(3b-5d) \neq 0$ とする。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$ad = bc$ である。この値を $k$ とおくと、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ と書ける。つまり、$a=bk$ および $c=dk$ である。

このとき、

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k$

また、

$\frac{3a-5c}{3b-5d} = \frac{3bk-5dk}{3b-5d} = \frac{k(3b-5d)}{3b-5d} = k$

したがって、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d} = k$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ は成立する。