$x+y-z = 0$ ...(1) $x+2y+z = 0$ ...(2)

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1. 問題の内容

(6) $x+y-z=x+2y+z=0$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$ の値を求めよ。

(7) $x,y,z$ が $x+2y+2z = 0, x+y-z = 1$ を満たすとき、$axy+byz+czx=1$ が常に成り立つように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。

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2. 解き方の手順

**(6) の解き方**

1. 与えられた連立方程式から $x, y, z$ の関係式を導出する。

$x+y-z = 0$ ...(1)

$x+2y+z = 0$ ...(2)

2. (1) - (2) より $-y - 2z = 0$ なので、$y = -2z$。

3. (1) に $y = -2z$ を代入して、$x - 2z - z = 0$ より、$x = 3z$。

4. $x = 3z$、$y = -2z$ を $\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$ に代入する。

$\frac{(3z)^2+(-2z)^2+z^2}{(3z)(-2z)+(-2z)(z)+(z)(3z)} = \frac{9z^2+4z^2+z^2}{-6z^2-2z^2+3z^2} = \frac{14z^2}{-5z^2}$

5. $xyz \neq 0$ より $z \neq 0$ なので、約分して $\frac{14}{-5} = -\frac{14}{5}$。

**(7) の解き方**

1. 与えられた連立方程式から $x, y, z$ の関係式を導出する。

$x+2y+2z = 0$ ...(3)

$x+y-z = 1$ ...(4)

2. (3) - (4) より $y + 3z = -1$ なので、$y = -3z - 1$。

3. (4) に $y = -3z - 1$ を代入して、$x - 3z - 1 - z = 1$ より、$x = 4z + 2$。

4. $x = 4z+2$、$y = -3z-1$ を $axy+byz+czx=1$ に代入する。

$a(4z+2)(-3z-1) + b(-3z-1)(z) + c(z)(4z+2) = 1$

$a(-12z^2 - 10z - 2) + b(-3z^2 - z) + c(4z^2 + 2z) = 1$

$(-12a-3b+4c)z^2 + (-10a-b+2c)z - 2a = 1$

5. この式が $z$ に関係なく常に成り立つためには、$z^2$ の係数、$z$ の係数が0で、定数項が1となる必要がある。したがって、

$-12a - 3b + 4c = 0$

$-10a - b + 2c = 0$

$-2a = 1$

6. $-2a = 1$ より $a = -\frac{1}{2}$。

7. $-10a - b + 2c = 0$ に $a = -\frac{1}{2}$ を代入して、$5 - b + 2c = 0$ より $b = 5 + 2c$。

8. $-12a - 3b + 4c = 0$ に $a = -\frac{1}{2}$、$b = 5 + 2c$ を代入して、$6 - 3(5+2c) + 4c = 0$。

$6 - 15 - 6c + 4c = 0$ より $-9 - 2c = 0$ なので、$c = -\frac{9}{2}$。

9. $b = 5 + 2c$ に $c = -\frac{9}{2}$ を代入して、$b = 5 - 9 = -4$。

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3. 最終的な答え

(6) $-\frac{14}{5}$

(7) $a = -\frac{1}{2}, b = -4, c = -\frac{9}{2}$