次の和を求めます。 $\sum_{k=1}^{n} (k+4)(k-1)$ この和を計算し、指定された形式で答えを記述する必要があります。

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$\sum_{k=1}^{n} (k+4)(k-1)$

この和を計算し、指定された形式で答えを記述する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、総和の中の式を展開します。

$(k+4)(k-1) = k^2 -k + 4k - 4 = k^2 + 3k - 4$

次に、この展開された式を総和に適用します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k - 4) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、次の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+n}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k - 4) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} - 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{9n(n+1)}{6} - \frac{24n}{6}$

$= \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) + 9(n+1) - 24 ]$

$= \frac{n}{6} [ 2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 - 24 ]$

$= \frac{n}{6} [ 2n^2 + 12n - 14 ]$

$= \frac{n}{3} [ n^2 + 6n - 7 ]$

$= \frac{n}{3} (n+7)(n-1)$

$= \frac{n(n+7)(n-1)}{3}$

$= \frac{n(n^2+6n-7)}{3} = \frac{n^3 + 6n^2 - 7n}{3}$

したがって、$n^3$ の係数は $1/3$、$n^2$ の係数は $6/3=2$、$n$の係数は $-7/3$となります。

(a) 1

(1) 6

(b) -7

(2) -1

(3) 3

3. 最終的な答え

$\frac{n^3 + 6n^2 -7n}{3}= \frac{n^3 (1) + n^2 (6) n ( -7)}{3}$

(a) 1

(1) 6

(b) -7

(2) -1

(3) 3