$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $x^2 - xy + y^2$, $x^3 + y^3$ (3) $x^5 + y^5$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $x^2 - xy + y^2$, $x^3 + y^3$

(3) $x^5 + y^5$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の値を求める。

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

したがって、

$x + y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 - xy + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値を求める。

$x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$xy = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、

$x^2 - xy + y^2 = (\sqrt{5})^2 - 3(\frac{1}{2}) = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10-3}{2} = \frac{7}{2}$

$x^3 + y^3 = (\sqrt{5})(\frac{7}{2}) = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

(3) $x^5 + y^5$ の値を求める。

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^3 - x^3y^2 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y)$

$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (\sqrt{5})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 5 - 1 = 4$

$x^5 + y^5 = (4)(\frac{7\sqrt{5}}{2}) - (\frac{1}{2})^2(\sqrt{5}) = 14\sqrt{5} - \frac{1}{4}\sqrt{5} = \frac{56\sqrt{5} - \sqrt{5}}{4} = \frac{55\sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $x^2 - xy + y^2 = \frac{7}{2}$, $x^3 + y^3 = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

(3) $x^5 + y^5 = \frac{55\sqrt{5}}{4}$