数列 $1^2, 4^2, 7^2, 10^2, 13^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。ただし、$S_n$ は $S_n = \frac{(1) n^3 + (2) n^2 + (b) n}{(3)}$ の形で与えられている。

1. 問題の内容

数列 $1^2, 4^2, 7^2, 10^2, 13^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。ただし、$S_n$ は

$S_n = \frac{(1) n^3 + (2) n^2 + (b) n}{(3)}$

の形で与えられている。

2. 解き方の手順

数列の一般項 $a_n$ は、$a_n = (3n-2)^2 = 9n^2 - 12n + 4$ と表される。

したがって、$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 12k + 4) = 9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 12\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$ となる。

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であるから、

$S_n = 9\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} - 12\frac{n^2 + n}{2} + 4n = \frac{3}{2}(2n^3 + 3n^2 + n) - 6(n^2 + n) + 4n = 3n^3 + \frac{9}{2}n^2 + \frac{3}{2}n - 6n^2 - 6n + 4n = 3n^3 - \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n = \frac{6n^3 - 3n^2 - 5n}{2}$

したがって、

(1) は 6

(a) は -3

(2) は -5

(b) は 0

(3) は 2

3. 最終的な答え

(1) 6

(a) -3

(2) -5

(b) 0

(3) 2