与えられた問題は、以下の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$

2. 解き方の手順

まず、$(3k-1)^2$ を展開します。

$(3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1$

次に、和の性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 6k + 1) = 9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, および $\sum_{k=1}^{n} 1$ の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + n$

式を整理します。

$9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 3n(n+1) + n$

共通因子 $n$ でくくります。

$n\left[ \frac{3(n+1)(2n+1)}{2} - 3(n+1) + 1 \right] = n \left[ \frac{3(2n^2 + 3n + 1)}{2} - 3n - 3 + 1 \right]$

$n \left[ \frac{6n^2 + 9n + 3}{2} - 3n - 2 \right] = n \left[ \frac{6n^2 + 9n + 3 - 6n - 4}{2} \right]$

$n \left[ \frac{6n^2 + 3n - 1}{2} \right] = \frac{n(6n^2 + 3n - 1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(6n^2 + 3n - 1)}{2}$