$x^2 - 9 < 0$ を満たすすべての $x$ が、$x^2 - 2kx + k^2 - 16 < 0$ を満たすとき、$k$ の値の範囲を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$x^2 - 9 < 0$ を満たすすべての $x$ が、$x^2 - 2kx + k^2 - 16 < 0$ を満たすとき、$k$ の値の範囲を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 9 < 0$ を解きます。これは $(x-3)(x+3) < 0$ と因数分解できるので、$-3 < x < 3$ です。

次に、$x^2 - 2kx + k^2 - 16 < 0$ を解きます。これは $(x-k)^2 - 16 < 0$ と変形できます。さらに $(x-k)^2 < 16$ となり、両辺の平方根をとると $|x-k| < 4$ となります。これは $-4 < x-k < 4$ と同値なので、$k-4 < x < k+4$ となります。

問題文の条件から、$-3 < x < 3$ を満たすすべての $x$ が $k-4 < x < k+4$ を満たす必要があります。つまり、$k-4 < x < k+4$ の範囲が $-3 < x < 3$ の範囲を含む必要があります。したがって、次の2つの不等式が成り立ちます。

$k-4 \le -3$

$k+4 \ge 3$

これらの不等式を解くと、

$k \le 1$

$k \ge -1$

したがって、$-1 \le k \le 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 \le k \le 1$ なので、選択肢の④が正解です。