$xy$平面上に、曲線$C_1: y=x^2 - \frac{1}{4}$、曲線$C_2: (x-4)^2 + y^2 = 16$、直線$l: y=kx$がある。$l$と$C_1$の2つの交点を結ぶ線分の長さと、$l$と$C_2$の2つの交点を結ぶ線分の長さが等しくなるような$k$の値を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上に、曲線$C_1: y=x^2 - \frac{1}{4}$、曲線$C_2: (x-4)^2 + y^2 = 16$、直線$l: y=kx$がある。$l$と$C_1$の2つの交点を結ぶ線分の長さと、$l$と$C_2$の2つの交点を結ぶ線分の長さが等しくなるような$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1：$l$と$C_1$の交点を求める。

$y = kx$と$y = x^2 - \frac{1}{4}$を連立して、

$x^2 - kx - \frac{1}{4} = 0$

この2次方程式の解を$\alpha$, $\beta$とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = k$, $\alpha \beta = -\frac{1}{4}$

2つの交点を$(\alpha, k\alpha)$, $(\beta, k\beta)$とすると、線分の長さ$L_1$は、

$L_1 = \sqrt{(\alpha - \beta)^2 + (k\alpha - k\beta)^2} = \sqrt{(\alpha - \beta)^2 + k^2(\alpha - \beta)^2} = \sqrt{(1+k^2)(\alpha - \beta)^2} = \sqrt{(1+k^2)((\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta)} = \sqrt{(1+k^2)(k^2 + 1)} = 1+k^2$

ステップ2：$l$と$C_2$の交点を求める。

$y = kx$と$(x-4)^2 + y^2 = 16$を連立して、

$(x-4)^2 + (kx)^2 = 16$

$x^2 - 8x + 16 + k^2x^2 = 16$

$(1+k^2)x^2 - 8x = 0$

$x((1+k^2)x - 8) = 0$

$x = 0, \frac{8}{1+k^2}$

2つの交点を$(0, 0)$, $(\frac{8}{1+k^2}, \frac{8k}{1+k^2})$とすると、線分の長さ$L_2$は、

$L_2 = \sqrt{(\frac{8}{1+k^2} - 0)^2 + (\frac{8k}{1+k^2} - 0)^2} = \sqrt{\frac{64}{(1+k^2)^2} + \frac{64k^2}{(1+k^2)^2}} = \sqrt{\frac{64(1+k^2)}{(1+k^2)^2}} = \frac{8}{\sqrt{1+k^2}}$

ステップ3：$L_1 = L_2$となる$k$を求める。

$1+k^2 = \frac{8}{\sqrt{1+k^2}}$

$(1+k^2)^{\frac{3}{2}} = 8$

$1+k^2 = 8^{\frac{2}{3}} = 4$

$k^2 = 3$

$k = \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$k = \sqrt{3}, -\sqrt{3}$