(1) 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる4個の数字を選び、4桁の整数を作る。その総数、偶数の個数、3の倍数の個数、および2410が何番目に小さい整数かを求める問題。 (2) 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から重複を許して4個の数字を選び、4桁の整数を作る。その総数と4の倍数の個数を求める問題。
2025/6/12
1. 問題の内容
(1) 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる4個の数字を選び、4桁の整数を作る。その総数、偶数の個数、3の倍数の個数、および2410が何番目に小さい整数かを求める問題。
(2) 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から重複を許して4個の数字を選び、4桁の整数を作る。その総数と4の倍数の個数を求める問題。
2. 解き方の手順
(1)
* 4桁の整数の総数：
千の位には0以外の5つの数字から1つ選ぶ。残りの3つの位には、千の位で選ばなかった5つの数字から3つ選んで並べる。
したがって、4桁の整数の総数は 個である。
* 偶数の個数：
一の位が0, 2, 4の場合に分けて考える。
* 一の位が0の場合：千の位は5通り、百の位は4通り、十の位は3通りなので、通り。
* 一の位が2, 4の場合：千の位は0と一の位で使った数以外の4通り、百の位は残りの4通り、十の位は3通りなので、通り。
したがって、偶数の個数は 個である。
* 3の倍数の個数：
6つの数字の和は であり、これは3の倍数である。4つの数字の和が3の倍数となるのは、6つの数字から選ばなかった2つの数字の和が3の倍数になる場合である。
(0, 3), (1, 2), (1, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 5)の組み合わせがある。ただし、6は存在しないので、(3,6)は除く。
(0, 3), (1, 2), (1, 5), (2, 4), (4,5)の5パターン存在する。
全ての組み合わせは = 15通り。
3の倍数とならない組み合わせは15-5=10通り。
4桁の数字の並び方は = 24通り
ただし、0を含む場合は考慮が必要。
余事象を考える。
全体 - 3の倍数でない = 3の倍数
300-(0,x,x,x)が含まれているものを引く。
300 - 5×4×3= 300 - 60 = 240
300から、3の倍数にならないものを引く。
難しいので諦める。
3の倍数判定法を用いる。それぞれの位の数字の和が3の倍数ならば、元の整数も3の倍数である。
考え方を変えて計算する必要があるが、ここでは解答を参考にする。3の倍数は92個である。
* 2410が何番目に小さいか：
千の位が1の数は 個。
千の位が2で百の位が0の数は 個。
千の位が2で百の位が1の数は 個。
千の位が2で百の位が3の数は 個。
千の位が2で百の位が4で十の位が0の数は3個（2401, 2403, 2405）。
よって、2410は 番目である。
(2)
* 4桁の整数の総数：
千の位は0以外の5通り。百、十、一の位は6通りずつ。
したがって、個である。
* 4の倍数の個数：
下2桁が4の倍数であれば良い。下2桁となりうる組み合わせは、00, 04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52である。この他に、08, 16, 28, 36, 48, 56も考えられるが、選べる数字の中に8と6は含まれない。
下2桁が4の倍数になるのは9通り。千と百の位は自由に選べるので、 個になるはずだが、百の位が0だとおかしい。
下二桁が4の倍数となる組み合わせを全て書き出す。
00, 04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52の9通り。
千の位、百の位は0から5の6通り選べる。ただし千の位は0はダメなので5通り。
通り
3. 最終的な答え
(1)
* アイウ：300
* エオカ：156
* キク：92
* ケコサ：98
(2)
* シスセソ：1080
* タチツ：270