問題は、与えられた硬貨を使って支払える金額がそれぞれ何通りあるかを求める問題です。 (1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚 (3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

1. 問題の内容

問題は、与えられた硬貨を使って支払える金額がそれぞれ何通りあるかを求める問題です。

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚

(3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

2. 解き方の手順

各ケースについて、支払える金額のパターンを考えます。

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

- 10円硬貨は0枚～4枚使えるので、5通り。

- 50円硬貨は0枚～1枚使えるので、2通り。

- 100円硬貨は0枚～3枚使えるので、4通り。

- 全体の組み合わせは $5 \times 2 \times 4 = 40$ 通り。

- ただし、すべて0枚の場合（0円）は除くので、$40 - 1 = 39$ 通り。

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚

- 10円硬貨は0枚～2枚使えるので、3通り。

- 50円硬貨は0枚～3枚使えるので、4通り。

- 100円硬貨は0枚～3枚使えるので、4通り。

- 全体の組み合わせは $3 \times 4 \times 4 = 48$ 通り。

- ただし、すべて0枚の場合（0円）は除くので、$48 - 1 = 47$ 通り。

ここで、50円硬貨2枚を100円硬貨1枚に換算できることに注意します。

50円硬貨を3枚使用することは、100円硬貨1枚と50円硬貨1枚に置き換えることができます。

このことから100円硬貨は最大4枚あると考えられます。しかし、50円硬貨を3枚使う場合と使わない場合で金額が重複することはないので、そのまま計算して問題ありません。

(3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

- 10円硬貨は0枚～7枚使えるので、8通り。

- 50円硬貨は0枚～1枚使えるので、2通り。

- 100円硬貨は0枚～3枚使えるので、4通り。

- 全体の組み合わせは $8 \times 2 \times 4 = 64$ 通り。

- ただし、すべて0枚の場合（0円）は除くので、$64 - 1 = 63$ 通り。

ここで、10円硬貨5枚で50円硬貨1枚を形成できます。

しかし、10円硬貨の枚数が5枚以上なので、50円硬貨を使わない場合に10円硬貨のみで50円を作れる金額が重複することはありません。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 63通り