四面体ABCDにおいて、辺の長さや内分点、角度などの条件が与えられたとき、ベクトル AE, AP, AQ, AR をベクトル b, c, d を用いて表し、ARの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、辺の長さや内分点、角度などの条件が与えられたとき、ベクトル AE, AP, AQ, AR をベクトル b, c, d を用いて表し、ARの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) AEを求める：

点Eは辺BCを2:1に内分するので、

$\vec{AE} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AB}}{2+1} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

次にAPを求める：

点Fは辺ADを1:2に内分するので、$\vec{AF} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{d}$.

点Pは線分EFの中点なので、

$\vec{AP} = \frac{\vec{AE} + \vec{AF}}{2} = \frac{\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{d}}{2} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}$

(2) AQを求める：

点Qは直線BPと平面ACDの交点なので、

$\vec{AQ} = s\vec{AC} + t\vec{AD} = s\vec{c} + t\vec{d}$ と表せる。

また、点Qは直線BP上にあるので、実数 k を用いて

$\vec{AQ} = (1-k)\vec{AB} + k\vec{AP} = (1-k)\vec{b} + k(\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}) = (1-\frac{2}{3}k)\vec{b} + \frac{k}{6}\vec{c} + \frac{k}{6}\vec{d}$

$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ は一次独立なので、$\vec{AQ}$ の $\vec{b}$ の係数は0である。

したがって、$1-\frac{2}{3}k = 0$ より $k = \frac{3}{2}$.

$\vec{AQ} = \frac{3/2}{6}\vec{c} + \frac{3/2}{6}\vec{d} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{1}{4}\vec{d}$

(3) ARを求める：

点Gは辺ABを1:3に内分するので、$\vec{AG} = \frac{1}{4}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{b}$.

点Rは直線APと平面GCDの交点なので、

$\vec{AR} = x\vec{AG} + y\vec{AC} + z\vec{AD} = \frac{x}{4}\vec{b} + y\vec{c} + z\vec{d}$ と表せる。

また、点Rは直線AP上にあるので、実数 l を用いて

$\vec{AR} = l\vec{AP} = l(\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}) = \frac{l}{3}\vec{b} + \frac{l}{6}\vec{c} + \frac{l}{6}\vec{d}$

$\frac{x}{4} = \frac{l}{3}, y = \frac{l}{6}, z = \frac{l}{6}$ であるから、

$\vec{AR} = \frac{l}{3}\vec{b} + \frac{l}{6}\vec{c} + \frac{l}{6}\vec{d}$ と $\vec{AR} = x\vec{AG} + y\vec{AC} + z\vec{AD}$ を比較して、

$\frac{x}{4} + y + z = 1$ なので、$\frac{l}{3}\vec{b} = \frac{l}{3}\vec{AG} + \frac{l}{6}\vec{AC} + \frac{l}{6}\vec{AD} = \frac{l}{3} + \frac{l}{6} + \frac{l}{6} = l$

$\frac{x}{4} = \frac{l}{3}, y = \frac{l}{6}, z = \frac{l}{6}$を代入すると、

$\frac{3l}{12} + \frac{2l}{12} + \frac{2l}{12} = 1$ より、$\frac{7l}{12} = 1$. よって、$l = \frac{12}{7}$

$\vec{AR} = \frac{12}{7}(\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}) = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c} + \frac{2}{7}\vec{d}$.

$|\vec{AR}|^2 = (\frac{4}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c} + \frac{2}{7}\vec{d})^2 = \frac{1}{49}(16|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 4|\vec{d}|^2 + 16\vec{b} \cdot \vec{c} + 16\vec{b} \cdot \vec{d} + 8\vec{c} \cdot \vec{d})$

$|\vec{b}| = 3, |\vec{c}| = 2, |\vec{d}| = 4, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0, \vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}||\vec{d}|cos60 = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6, \vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}||\vec{d}|cos60 = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$|\vec{AR}|^2 = \frac{1}{49}(16 \cdot 9 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 16 + 0 + 16 \cdot 6 + 8 \cdot 4) = \frac{1}{49}(144 + 16 + 64 + 96 + 32) = \frac{352}{49}$

$|\vec{AR}| = \sqrt{\frac{352}{49}} = \frac{\sqrt{352}}{7} = \frac{\sqrt{16 \cdot 22}}{7} = \frac{4\sqrt{22}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$ 、$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}$

(2) $\vec{AQ} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{1}{4}\vec{d}$

(3) $\vec{AR} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c} + \frac{2}{7}\vec{d}$ 、 $AR = \frac{\sqrt{352}}{7} = \frac{4\sqrt{22}}{7}$