与えられた三角形ABCにおいて、以下の3つの問題について指定された辺の長さを求めます。 (1) $a=2, b=2\sqrt{3}, C=30^\circ$のとき、$c$を求める。 (2) $a=\sqrt{2}, c=3, B=45^\circ$のとき、$b$を求める。 (3) $b=3, c=\sqrt{3}, A=150^\circ$のとき、$a$を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、以下の3つの問題について指定された辺の長さを求めます。

(1) $a=2, b=2\sqrt{3}, C=30^\circ$のとき、$c$を求める。

(2) $a=\sqrt{2}, c=3, B=45^\circ$のとき、$b$を求める。

(3) $b=3, c=\sqrt{3}, A=150^\circ$のとき、$a$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を使って$c$を求める。

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

$c^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(2)(2\sqrt{3})\cos{30^\circ}$

$c^2 = 4 + 12 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 16 - 12 = 4$

$c = \sqrt{4} = 2$

(2) 余弦定理を使って$b$を求める。

余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2(\sqrt{2})(3)\cos{45^\circ}$

$b^2 = 2 + 9 - 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 11 - 6 = 5$

$b = \sqrt{5}$

(3) 余弦定理を使って$a$を求める。

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

$a^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(3)(\sqrt{3})\cos{150^\circ}$

$a^2 = 9 + 3 - 6\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 12 + 9 = 21$

$a = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $c = 2$

(2) $b = \sqrt{5}$

(3) $a = \sqrt{21}$