三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、BP:PMの比を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、BP:PMの比を求める。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理またはベクトルの知識を使って解くことができます。ここではベクトルを用いて解きます。

まず、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおきます。

点Lは辺ABを2:3に内分するので、

$$\vec{OL} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{2+3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$$

点Pは線分OL上にあるので、実数sを用いて

$$\vec{OP} = s\vec{OL} = s\left(\frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}\right) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$$

と表せます。

また、点Pは線分BM上にあるので、実数tを用いて

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$$

点Mは辺OAの中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$ です。よって、

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$$

$$\frac{2s}{5} = 1-t$$

この連立方程式を解きます。一つ目の式から $t = \frac{6s}{5}$ です。

これを二つ目の式に代入すると、

$$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$$

$$\frac{8s}{5} = 1$$

$$s = \frac{5}{8}$$

よって、$t = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$ となります。

$\vec{OP} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$ より、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\vec{OM}$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

よって、点Pは線分BMを 3:1 に内分するので、$BP:PM = 3:1$ となります。

3. 最終的な答え

BP:PM = 3:1