$f(x) = -x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4$ と $g(x) = x^2$ について、以下の問いに答える。 (1) $a$が変化するときの、放物線 $y=f(x)$ の頂点の軌跡の方程式を求める。 (2) 2つの放物線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が異なる2点で交わるときの、$a$ の値の範囲を求める。 (3) (2)のとき、2つの放物線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4$ と $g(x) = x^2$ について、以下の問いに答える。

(1) $a$が変化するときの、放物線 $y=f(x)$ の頂点の軌跡の方程式を求める。

(2) 2つの放物線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が異なる2点で交わるときの、$a$ の値の範囲を求める。

(3) (2)のとき、2つの放物線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x) = -x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 4ax) - 10a^2 + 4a + 4$

$y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 10a^2 + 4a + 4$

$y = -(x - 2a)^2 - 6a^2 + 4a + 4$

頂点の座標は $(2a, -6a^2 + 4a + 4)$ である。

頂点の $x$ 座標を $X$, $y$ 座標を $Y$ とすると、

$X = 2a$, $Y = -6a^2 + 4a + 4$

$a = \frac{X}{2}$ を $Y$ に代入すると、

$Y = -6(\frac{X}{2})^2 + 4(\frac{X}{2}) + 4$

$Y = -6(\frac{X^2}{4}) + 2X + 4$

$Y = -\frac{3}{2}X^2 + 2X + 4$

よって、軌跡の方程式は $y = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 4$

(2) $f(x) = g(x)$ となる $x$ が2つ存在するとき、$a$ の範囲を求める。

$-x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4 = x^2$

$2x^2 - 4ax + 10a^2 - 4a - 4 = 0$

$x^2 - 2ax + 5a^2 - 2a - 2 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つとき、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(5a^2 - 2a - 2) = 4a^2 - 20a^2 + 8a + 8 = -16a^2 + 8a + 8 > 0$

$-16a^2 + 8a + 8 > 0$

$2a^2 - a - 1 < 0$

$(2a + 1)(a - 1) < 0$

$-\frac{1}{2} < a < 1$

(3) $f(x) - g(x) = -x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4 - x^2 = -2x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4 = -2(x^2 - 2ax + 5a^2 - 2a - 2)$

2つの放物線の交点の $x$ 座標は $x^2 - 2ax + 5a^2 - 2a - 2 = 0$ の解である。

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(5a^2 - 2a - 2)}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{-16a^2 + 8a + 8}}{2} = a \pm \sqrt{-4a^2 + 2a + 2}$

$x_1 = a - \sqrt{-4a^2 + 2a + 2}$, $x_2 = a + \sqrt{-4a^2 + 2a + 2}$

$S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx = \int_{x_1}^{x_2} (-2x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4) dx$

$S = -2 \int_{x_1}^{x_2} (x - x_1)(x - x_2) dx = \frac{2}{6} (x_2 - x_1)^3 = \frac{1}{3} (2\sqrt{-4a^2 + 2a + 2})^3$

$S = \frac{8}{3} (-4a^2 + 2a + 2)^{\frac{3}{2}}$

$T = -4a^2 + 2a + 2 = -4(a^2 - \frac{1}{2}a) + 2 = -4(a - \frac{1}{4})^2 + 4(\frac{1}{16}) + 2 = -4(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -4(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{4}$

$-\frac{1}{2} < a < 1$ の範囲で、$a = \frac{1}{4}$ のとき、$T$ は最大値 $\frac{9}{4}$ を取る。

$S_{max} = \frac{8}{3} (\frac{9}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3} (\frac{3}{2})^3 = \frac{8}{3} \cdot \frac{27}{8} = 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 4$

(2) $-\frac{1}{2} < a < 1$

(3) $S$ の最大値は $9$, そのときの $a$ の値は $\frac{1}{4}$