与えられた式 $\sqrt{6 \times \sqrt[3]{12} \times \sqrt[6]{\frac{2}{3}}}$ を計算して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{6 \times \sqrt[3]{12} \times \sqrt[6]{\frac{2}{3}}}$ を計算して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号を指数表現に変換します。

$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{12} = 12^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{\frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}}$

次に、与えられた式全体を指数表現に変換します。

$\sqrt{6 \times \sqrt[3]{12} \times \sqrt[6]{\frac{2}{3}}} = (6 \times 12^{\frac{1}{3}} \times (\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{2}}$

指数法則を使って、全体を $\frac{1}{2}$ 乗します。

$(6 \times 12^{\frac{1}{3}} \times (\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{2}} = 6^{\frac{1}{2}} \times 12^{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \times (\frac{2}{3})^{\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}} = 6^{\frac{1}{2}} \times 12^{\frac{1}{6}} \times (\frac{2}{3})^{\frac{1}{12}}$

$12 = 2^2 \times 3$ であるから、$12^{\frac{1}{6}} = (2^2 \times 3)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} \times 3^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}}$

$(\frac{2}{3})^{\frac{1}{12}} = \frac{2^{\frac{1}{12}}}{3^{\frac{1}{12}}}$

したがって、

$6^{\frac{1}{2}} \times 12^{\frac{1}{6}} \times (\frac{2}{3})^{\frac{1}{12}} = (2 \times 3)^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}} \times \frac{2^{\frac{1}{12}}}{3^{\frac{1}{12}}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{12}} \times 3^{-\frac{1}{12}}$

指数の和を取ります。

$2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12}} \times 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12}} = 2^{\frac{6+4+1}{12}} \times 3^{\frac{6+2-1}{12}} = 2^{\frac{11}{12}} \times 3^{\frac{7}{12}}$

$2^{\frac{11}{12}} \times 3^{\frac{7}{12}} = 2^{\frac{11}{12}} \times 3^{\frac{7}{12}} = (2^{11} \times 3^7)^{\frac{1}{12}} = (2048 \times 2187)^{\frac{1}{12}} = (4478976)^{\frac{1}{12}}$

この形では簡単にならないようです。計算を見直します。

$6^{\frac{1}{2}} \times 12^{\frac{1}{6}} \times (\frac{2}{3})^{\frac{1}{12}} = 6^{\frac{1}{2}} \times 12^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{12}} \times 3^{-\frac{1}{12}} = \sqrt{6} \times \sqrt[6]{12} \times \sqrt[12]{\frac{2}{3}} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{2}}(2^2 \cdot 3)^{\frac{1}{6}}(\frac{2}{3})^{\frac{1}{12}}= 2^{\frac{1}{2}}3^{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{1}{6}}2^{\frac{1}{12}}3^{-\frac{1}{12}}= 2^{\frac{6}{12}}3^{\frac{6}{12}}2^{\frac{4}{12}}3^{\frac{2}{12}}2^{\frac{1}{12}}3^{-\frac{1}{12}} = 2^{\frac{11}{12}}3^{\frac{7}{12}}$

$2^{\frac{11}{12}}3^{\frac{7}{12}}= (2^{11}3^7)^{\frac{1}{12}}= (2^{11}3^7)^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{2^{11} 3^7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[12]{2^{11}3^7}$