数列 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... が与えられています。 この数列の第100項と初項から第100項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... が与えられています。

この数列の第100項と初項から第100項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の規則性を見つけます。この数列は、

1

1, 4

1, 4, 9

1, 4, 9, 16

1, 4, 9, 16, 25

...

というように、平方数が1から順に増えていく数列が繰り返されています。

具体的には、第$n$群は$1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2$という数列です。

第$n$群の項数は$n$個です。

第100項がどの群に属するかを考えます。第$n$群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

です。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 100$となる最大の$n$を求めます。

$n(n+1) \le 200$です。

$n=13$のとき、$13 \times 14 = 182 \le 200$

$n=14$のとき、$14 \times 15 = 210 > 200$

したがって、第100項は第13群のどこかにあります。

第13群までの項数は$\frac{13 \times 14}{2} = 91$です。

したがって、第100項は第13群の$100 - 91 = 9$番目の数です。

第13群は$1^2, 2^2, 3^2, ..., 13^2$なので、第13群の9番目の数は$9^2 = 81$です。

したがって、第100項は81です。

次に、初項から第100項までの和を求めます。

第13群までの和は、

$\sum_{k=1}^{13} \sum_{i=1}^{k} i^2 = \sum_{k=1}^{13} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \sum_{k=1}^{13} \frac{2k^3+3k^2+k}{6} = \frac{1}{6}(2\sum_{k=1}^{13}k^3 + 3\sum_{k=1}^{13}k^2 + \sum_{k=1}^{13}k)$

$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{13}k = \frac{13(14)}{2} = 91$

$\sum_{k=1}^{13}k^2 = \frac{13(14)(27)}{6} = 13(7)(9) = 819$

$\sum_{k=1}^{13}k^3 = (\frac{13(14)}{2})^2 = 91^2 = 8281$

$\frac{1}{6}(2(8281) + 3(819) + 91) = \frac{1}{6}(16562 + 2457 + 91) = \frac{1}{6}(19110) = 3185$

第13群の9番目までの和は$1^2 + 2^2 + ... + 9^2 = \sum_{i=1}^{9} i^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 3(5)(19) = 285$

初項から第100項までの和は、$3185 + 285 = 3470$

3. 最終的な答え

第100項：81

初項から第100項までの和：3470