図に示された $x$, $y$, $z$ の値をそれぞれ求めます。ただし、図(3)において、線分ADは点Dにおける円の接線です。

1. 問題の内容

図に示された $x$, $y$, $z$ の値をそれぞれ求めます。ただし、図(3)において、線分ADは点Dにおける円の接線です。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDは円に内接しているので、トレミーの定理が使えます。AC=BDなので、トレミーの定理より、

$x \cdot x + 1 \cdot 1 = 2 \cdot 2$

$x^2 + 1 = 4$

$x^2 = 3$

$x = \sqrt{3}$

よって、選択肢には該当するものはありません。

(2) 接線と弦の作る角の定理より、$∠ADB = ∠BCD$、 $∠CBD = ∠BAD$。三角形ABDと三角形BCEは相似。よって、

$\frac{AD}{BD} = \frac{BE}{CE}$

$\frac{y}{1} = \frac{2}{1}$

$y = 2$

(3) 方べきの定理より、

$AD^2 = AB \cdot AC$

$3^2 = 1 \cdot (1+z)$

$9 = 1+z$

$z = 8$

よって、選択肢には該当するものはありません。

3. 最終的な答え

(1) $x = \sqrt{3}$

(2) $y = 2$

(3) $z = 8$