$x + y + z = 10$ を満たす自然数 $x$, $y$, $z$ の組の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$x + y + z = 10$ を満たす自然数 $x$, $y$, $z$ の組の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は自然数であるから、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ である。

そこで、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z'$ は 0 以上の整数となる。

$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$ を $x + y + z = 10$ に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 10$

$x' + y' + z' = 10 - 3 = 7$

この式を満たす 0 以上の整数 $x', y', z'$ の組の個数を求めればよい。

これは、7 個の区別できないものを 3 つの区別できる箱 ($x'$, $y'$, $z'$) に入れる場合の数と考えることができる。

これは重複組み合わせの問題であり、次のように計算できる。

異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個取る組み合わせの総数は、

$_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$

この問題では、$n = 3$ (箱の種類) であり、$r = 7$ (入れるものの数) であるから、求める組の個数は

$_{3}H_{7} = _{3+7-1}C_{7} = _{9}C_{7} = _{9}C_{2}$

$_{9}C_{2} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36$

3. 最終的な答え

36