白玉2個、赤玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻す。この試行を5回続けて行うとき、以下の確率を求めます。 (1) 白玉がちょうど3回出る確率。 (2) 5回目に4度目の赤玉が出る確率。

1. 問題の内容

白玉2個、赤玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻す。この試行を5回続けて行うとき、以下の確率を求めます。

(1) 白玉がちょうど3回出る確率。

(2) 5回目に4度目の赤玉が出る確率。

2. 解き方の手順

(1) 白玉がちょうど3回出る確率を求めます。

1回の試行で白玉が出る確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。赤玉が出る確率も $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

5回の試行で白玉がちょうど3回出る確率は、二項分布に従います。

確率は、

$_{5}C_{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{5-3} = _{5}C_{3} (\frac{1}{2})^5$

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

したがって、確率は $10 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

(2) 5回目に4度目の赤玉が出る確率を求めます。

これは、4回目までに赤玉が3回出て、5回目に赤玉が出る確率を意味します。

4回までに赤玉が3回出る確率は、

$_{4}C_{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{4-3} = _{4}C_{3} (\frac{1}{2})^4$

$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

したがって、確率は $4 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

5回目に赤玉が出る確率は $\frac{1}{2}$です。

したがって、求める確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 白玉がちょうど3回出る確率: $\frac{5}{16}$

(2) 5回目に4度目の赤玉が出る確率: $\frac{1}{8}$