9本中3本が当たりのくじがあり、そのくじを1本ずつ3回引く。引いたくじは元に戻さない。 (1) 2本当たる確率を求める。 (2) 1本も当たらない確率を求める。 (3) 当たりの本数の期待値を求める。

1. 問題の内容

9本中3本が当たりのくじがあり、そのくじを1本ずつ3回引く。引いたくじは元に戻さない。

(1) 2本当たる確率を求める。

(2) 1本も当たらない確率を求める。

(3) 当たりの本数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2本当たる確率を求める。

3回引いて2本当たるのは、当たり、当たり、外れ（当当外）、当たり、外れ、当たり（当外当）、外れ、当たり、当たり（外当当）の3パターンがある。

当当外となる確率は、

$\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{36}{504}$

当外当となる確率は、

$\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{36}{504}$

外当当となる確率は、

$\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{36}{504}$

よって、2本当たる確率は、

$\frac{36}{504} + \frac{36}{504} + \frac{36}{504} = \frac{108}{504} = \frac{3}{14}$

(2) 1本も当たらない確率を求める。

3回とも外れる確率は、

$\frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{120}{504} = \frac{5}{21}$

(3) 当たりの本数の期待値を求める。

期待値 $E(X)$ は、各事象の確率とその事象で得られる値の積の和で求められる。

3回引くので、当たる本数は0本、1本、2本、3本の可能性がある。

0本の場合の確率 (1本も当たらない確率) は $\frac{5}{21}$。

1本の場合の確率を求める。

当たり、外れ、外れ（当外外）、外れ、当たり、外れ（外当外）、外れ、外れ、当たり（外外当）の3パターンがある。

当外外となる確率は、

$\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{90}{504}$

外当外となる確率は、

$\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{90}{504}$

外外当となる確率は、

$\frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{90}{504}$

よって、1本当たる確率は、

$\frac{90}{504} + \frac{90}{504} + \frac{90}{504} = \frac{270}{504} = \frac{15}{28}$

2本当たる確率は$\frac{3}{14}$。

3本当たる確率は、

$\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{6}{504} = \frac{1}{84}$

期待値 $E(X) = 0 \times \frac{5}{21} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{14} + 3 \times \frac{1}{84} = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{14} + \frac{3}{84} = \frac{45}{84} + \frac{36}{84} + \frac{3}{84} = \frac{84}{84} = 1$

期待値は1本。

3. 最終的な答え

(1) 2本当たる確率は $\frac{3}{14}$

(2) 1本も当たらない確率は $\frac{5}{21}$

(3) 当たりの本数の期待値は 1