$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。解析学微分導関数指数関数数学的帰納法2025/7/151. 問題の内容nnn を自然数とするとき、関数 y=e−xy = e^{-x}y=e−x の第 nnn 次導関数を求める問題です。2. 解き方の手順まず、y=e−xy = e^{-x}y=e−x の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。y′=ddx(e−x)=−e−xy' = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}y′=dxd(e−x)=−e−xy′′=d2dx2(e−x)=ddx(−e−x)=e−xy'' = \frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}y′′=dx2d2(e−x)=dxd(−e−x)=e−xy′′′=d3dx3(e−x)=ddx(e−x)=−e−xy''' = \frac{d^3}{dx^3}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}y′′′=dx3d3(e−x)=dxd(e−x)=−e−xy′′′′=d4dx4(e−x)=ddx(−e−x)=e−xy'''' = \frac{d^4}{dx^4}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}y′′′′=dx4d4(e−x)=dxd(−e−x)=e−x一般に、第 nnn 次導関数は次のようになります。y(n)=(−1)ne−xy^{(n)} = (-1)^n e^{-x}y(n)=(−1)ne−xこれは数学的帰納法で証明できます。(1) n=1n=1n=1のとき、y′=−e−x=(−1)1e−xy' = -e^{-x} = (-1)^1 e^{-x}y′=−e−x=(−1)1e−x なので、成り立つ。(2) n=kn=kn=kのとき、y(k)=(−1)ke−xy^{(k)} = (-1)^k e^{-x}y(k)=(−1)ke−x が成り立つと仮定する。(3) n=k+1n=k+1n=k+1のとき、y(k+1)=ddx(y(k))=ddx((−1)ke−x)=(−1)k(−e−x)=(−1)k+1e−xy^{(k+1)} = \frac{d}{dx} (y^{(k)}) = \frac{d}{dx} ((-1)^k e^{-x}) = (-1)^k (-e^{-x}) = (-1)^{k+1} e^{-x}y(k+1)=dxd(y(k))=dxd((−1)ke−x)=(−1)k(−e−x)=(−1)k+1e−xしたがって、n=k+1n=k+1n=k+1のときも成り立つ。したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 nnn に対して、y(n)=(−1)ne−xy^{(n)} = (-1)^n e^{-x}y(n)=(−1)ne−x が成り立つ。3. 最終的な答えy(n)=(−1)ne−xy^{(n)} = (-1)^n e^{-x}y(n)=(−1)ne−x
