20個のデータ $\{3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12\}$ について、以下の値を求める。 (1) 平均値 (2) 中央値 (3) 最頻値 (4) 第1四分位数 (5) 第3四分位数 (6) 四分位範囲 (7) 四分位偏差 (8) 分散

1. 問題の内容

20個のデータ $\{3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12\}$ について、以下の値を求める。

(1) 平均値

(2) 中央値

(3) 最頻値

(4) 第1四分位数

(5) 第3四分位数

(6) 四分位範囲

(7) 四分位偏差

(8) 分散

2. 解き方の手順

(1) 平均値: データの総和をデータの個数で割る。

データの総和は $3+4+4+4+4+5+6+6+6+6+6+6+7+8+9+9+9+10+10+12+12 = 150$

データの個数は20なので、平均値は $\frac{150}{20} = 7.5$

(2) 中央値: データを小さい順に並べたときの中央の値。データの個数が偶数の場合は、中央の2つの値の平均を取る。

データはすでに小さい順に並んでいる。データの個数は20なので、中央の値は10番目と11番目の値の平均。

10番目の値は6, 11番目の値は6なので、中央値は $\frac{6+6}{2} = 6$

(3) 最頻値: データの中で最も多く現れる値。

データの中で6が6回現れ、最も多いので、最頻値は6。

(4) 第1四分位数: データを小さい順に並べたとき、下位25%に当たる値。

データの個数は20なので、下から $20 \times 0.25 = 5$ 番目の値が第1四分位数。

5番目の値は4なので、第1四分位数は4。

(5) 第3四分位数: データを小さい順に並べたとき、上位25%に当たる値。

データの個数は20なので、上から $20 \times 0.25 = 5$ 番目の値が第3四分位数。

または下から $20 - 5 + 1 = 16$ 番目の値。

16番目の値は9なので、第3四分位数は9。

(6) 四分位範囲: 第3四分位数から第1四分位数を引いた値。

四分位範囲は $9 - 4 = 5$

(7) 四分位偏差: 四分位範囲を2で割った値。

四分位偏差は $\frac{5}{2} = 2.5$

(8) 分散: 各データの値から平均値を引いた値の2乗の平均。

分散を計算するには、まず各データの値から平均値7.5を引いた値を計算し、それらの2乗を計算する。

次に、それらの2乗の値を合計し、データの個数で割る。

$\begin{aligned}

\text{分散} &= \frac{1}{20} [(3-7.5)^2 + 4(4-7.5)^2 + (5-7.5)^2 + 6(6-7.5)^2 + (7-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + 3(9-7.5)^2 + 2(10-7.5)^2 + 2(12-7.5)^2] \\

&= \frac{1}{20} [20.25 + 4(12.25) + 6.25 + 6(2.25) + 0.25 + 0.25 + 3(2.25) + 2(6.25) + 2(20.25)] \\

&= \frac{1}{20} [20.25 + 49 + 6.25 + 13.5 + 0.25 + 0.25 + 6.75 + 12.5 + 40.5] \\

&= \frac{1}{20} [149.25] = 7.4625

\end{aligned}$

3. 最終的な答え

(1) 平均値: 7.5

(2) 中央値: 6

(3) 最頻値: 6

(4) 第1四分位数: 4

(5) 第3四分位数: 9

(6) 四分位範囲: 5

(7) 四分位偏差: 2.5

(8) 分散: 7.4625